a
b
cos θ
정사영(|b|cosθ)
내적 벡터(×|a|)
성분곱(xa·xb, ya·yb)
벡터 끝점을 드래그하여 움직여 보세요
벡터 설정
a
b
단계별 보기
1
cos θ 값 보기
2
정사영 보기
3
내적 벡터 보기
4
성분곱 보기
각도 & 코사인
θ0°
cos θ0
정사영 (|b|cosθ)
|b|cosθ
0
← 스칼라 정사영
내적 벡터 (정사영 × |a|)
정사영 |b|cosθ
0
× |a| 를 곱하면 ↓
내적 벡터 길이
0
성분곱 벡터
대수적 정의의 시각화
xa × xb0
ya × yb0
계산 결과 비교
대수적 정의 (Algebraic)
0
기하학적 정의 (Geometric)
0
≡
두 정의는 항상 같은 값을 줍니다
증명 (코사인 법칙)
① 코사인 법칙
|a-b|² = |a|²+|b|²-2|a||b|cosθ
|a-b|² = |a|²+|b|²-2|a||b|cosθ
② 좌변을 성분으로 전개
(a₁-b₁)²+(a₂-b₂)²
= |a|²+|b|²-2(a₁b₁+a₂b₂)
(a₁-b₁)²+(a₂-b₂)²
= |a|²+|b|²-2(a₁b₁+a₂b₂)
③ ①과 ② 비교
|a||b|cosθ = a₁b₁+a₂b₂
∴ a·b = |a||b|cosθ ∎
|a||b|cosθ = a₁b₁+a₂b₂
∴ a·b = |a||b|cosθ ∎